\(\triangleright\) Définition de la métrique de Schwarzschild
Cette métrique est la métrique qui décrit la courbure de l'Espace-temps à l'extérieur des corps. Elle est également une solution exacte de l'Equation d'Einstein.
La métrique est définit comme :
$$ds^2=-\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2+\frac{1}{\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)}dr^2+r^2 \left(d\theta^2+\sin(\theta)^2d\phi^2\right)$$
Avec :
\(G\) : la constante de gravitation
\(M\) : la masse du corps à l'origine de la courbure
Propriétés
\(\triangleright\) Propriétés de la métrique de Schwarzschild
Soit \(g_S\) la métrique de Schwarzschild.
\((M,g_S)\) est stationnaire
\((M,g_S)\) est statique
\((M,g_S)\) possède une symétrie sphérique
\((M,g_S)\) est asymptotiquement plat (\(g_{\mu\nu}\to\eta_{\mu\nu}\) quand \(r\to \infty\))
Remarques
\(\triangleright\) Rayon de Schwarzchild - Singularités
Dans la métrique de Schwarzchild, il existe un rayon \(R_S=\frac{2GM}{c^2}\) pour lequel une singularité apparaît, c'est-à-dire que la métrique n'est pas définit pour \(r\lt R_S\).
L'existence d'une telle valeur possède une réalité physique : le trou noir de Schwarzchild.
